Estadística rolera: tener éxito en D&D en tirada simple

Hace ya más de un año (cómo pasa el tiempo 😮), vimos una pequeña introducción sobre estadística en los juegos de rol, pero no entramos en detalle en ningún sistema en particular. Ahora vamos a ver un ejemplo, uno de los (aparentemente) más sencillos y posiblemente el más interesantes para mucha gente, porque vamos a hablar de ese sistema de juego que no se puede nombrar (como el malo de Harry Potter) pero sí que se puede decir que es la quinta edición del juego más famoso de todos los tiempos (que no el mejor, que hay gente se confunde). ¿A cuál nos podemos estar refiriendo? ¿A Vampiro? ¿Al Runequest II de Moongose? ¿A la quinta de Pendragón? ¿Ars Magica? ¿Shadowrun? ¿La llamada de Chtulhu? Ay, hay tantos juegos de rol famosos con cinco o más ediciones, que a lo mejor esa terminología nos resulta confusa.

Pero sí, vamos a hablar de estadística para D&D, para quinta (5e), aunque adaptable a cualquier edición, excepto por el tema de la ventaja y desventaja, el único cambio que hace que el sistema d20 no sea siempre lineal.

Antes de nada, un comentario: el cálculo de probabilidades lo voy a hacer hablando de tanto por ciento (de 1% a 100%). Sin embargo, cuando se multiplican dos números porcentuales (por ejemplo, para calcular la probabilidad de éxito con ventaja), el resultado no es una multiplicación directa: hay que dividirlo entre 100 (si fuesen 3 dados, entre 10 000). Por ejemplo, 5% x 5% no es 25%, sino 25‱, ya que realmente sería 5 / 100 * 5 / 100 = 25 / 10 000. O, lo que es lo mismo, 0,25%. Realmente, si vamos a hacer muchas multiplicaciones con porcentajes, lo mejor es trabajar en tanto por uno (que va de 0,01 a 1) y multiplicar el resultado final por 100 (yo, personalmente, lo hago siempre así). He usado % por comodidad visual y de entendimiento, espero que no la líe un poco respecto a los cálculos.

Tipos de tirada

Dependiendo de contra qué nos enfrentemos, podemos diferenciar las tiradas en 5e de dos formas:

• Tirada simple, donde el jugador (o el DM) hace una tirada y tiene que igualar o superar la clase de dificultad (CD) indicada por el DM. La probabilidad de esta tirada se explica en este mismo artículo, e incluye tanto la probabilidad al hacer una tirada normal como al tirar con ventaja o con desventaja.
• Tirada enfrentada, donde tienen que tirar dos o más jugadores (incluyendo al DM) y gana el que obtenga un resultado más alto. Este apartado, que es más complicado, lo veremos en el siguiente artículo, e incluirá enfrentamientos entre tiradas normales, tiradas con ventaja y tiradas con desventaja, ¡ahí es ná!

Resumen y tablas

Si has entrado aquí y no fue por casualidad, lo más probable es que haya sido buscando los porcentajes pero la forma de conseguirlos te importe lo menos posible, porque no quieres que se te abrase el cerebro. En tal caso, este es tu apartado, no hace falta que sigas leyendo. O también puedes ir a anydice.com, que es lo que tendría que haber hecho yo en lugar de perder el tiempo con estas cosas.

Nota: para facilitar la consulta de las tablas, se usa Dificultad como CD - modificadores de la tirada.

constante de proporcionalidad para convertir 5e a porcentaje = 5

% éxito para 5e = ( 21 - Dificultad ) x 5

% éxito con ventaja = % éxito simple + % fallo simple x % éxito simple.

o

% éxito con ventaja = [ (21 - Dificultad) / 20 + (Dificultad - 1) / 20 x (21 - Dificultad) / 20 ] x 100

% éxito con desventaja = % éxito normal x % éxito normal.

o

% éxito con desventaja = [(21 - Dificultad) / 20 x (21 - Dificultad) / 20] x 100

Probabilidad de éxito según dificultad en tirada normal, con ventaja y sin ventaja:

Probabilidad de obtener un resultado específico al realizar una tirada normal, con ventaja y con desventaja:

Instrucción en AnyDice para conocer la probabilidad de éxito en un tirada simple de D&D (donde CD es la clase de dificultad que queremos superar y Modificadores el ajuste que tenemos para la tirada):

Tirada normal: output 1d20 + Modificadores >= CD.

Tirada con ventaja: output [highest 1 of 2d20]  + Modificadores >= CD.

Tirada con desventaja: output [lowest 1 of 2d20] + Modificadores >= CD.

Ejemplos con AnyDice para superar CD 15 con un bono de +5

Si realmente quieres saber de dónde vienen todos estos cálculos, puedes seguir avanzando. Tienes lectura para rato.

Tiradas simples (contra una dificultad)

Dificultad para tener éxito

Para 5e, el cálculo básico es muy sencillo y ya lo vimos en el artículo anterior. Cuando hacemos cualquier acción básica, el DM nos pide igualar o superar en 1d20 una tirada de dificultad (la Clase de Dificultad, CD). A ese dado que tiramos, le sumamos el nivel de la habilidad a utilizar (que será el modificador de característica más el nivel de competencia, si hemos desarrollado dicha habilidad, más otros posibles modificadores, como ajustes de dificultad como cobertura u otros ajustes en ediciones anteriores, etc.). El éxito, por tanto, se dará cuando:

1d20 + modificadores >= Clase de dificultad (CD).

O, lo que es lo mismo:

1d20 >= CD - modificadores

A lo largo del artículo, para facilitar los cálculos y entender mejor las gráficas, en lugar de sumar los modificadores a la tirada, los restaremos de la CD, y lo llamaremos, simplemente, Dificultad:

Dificultad: CD - modificadores

Constante para convertir los resultados a tanto por ciento

Para cualquier sistema que use una tirada con un único dado proporcional, como hace 5e (un dado que va de 1 a X y donde todas las caras tienen la misma probabilidad de salir; X sería el número de caras, 6 para 1d6, 10 para 1d10, 20 para 1d20 como 5e) y que nos pida mejorar una dificultad (ya sea sacar igual o más como 5e o sacar igual o menos como un BRP que usa 1d100), el cálculo de la probabilidad es muy sencillo, aunque difiere un poco si tienes que sacar más de la dificultad (como 5e) o menos (como un BRP que usa d100; sacar menos es un cálculo más directo).

Para ambos casos, primero hay que obtener la constante de proporcionalidad, que es el valor que usaremos para convertir el resultado en porcentaje. Y eso se obtiene con una sencilla regla de proporcionalidad o... regla de tres 😜, para obtener constante = 100 / X, donde X es el número máximo del dado. Ese valor, para 5e, como el dado es de 20 caras, tendremos 100 / 20 = 5:

constante de proporcionalidad para D&D = 5

Fórmula para calcular la probabilidad de éxito

Para los sistemas de rol que nos pidan obtener la dificultad o menos, el cálculo es inmediato: % éxito = ( Dificultad + Modificadores ) * constante. Pero para 5e, que nos obliga a sacar la dificultad o más, hay que hacer un pequeño cálculo adicional. La fórmula final es muy intuitiva: el éxito es obtener cualquier número superior o igual a la Dificultad, y el máximo que podemos obtener es 20. Así que todos los posibles resultados de 1d20 que van desde la Dificultad hasta 20 son un éxito:

paso 1 del cálculo: 20 - Dificultad. 

Pero como igualar la dificultad también es un éxito, ese resultado extra lo tenemos que sumar al total (o restar de la dificultad, que es lo mismo):

paso 2 del cálculo: 20 - ( Dificultad - 1 ) = 21 - Dificultad.

Y, para obtener el porcentaje, multiplicamos ese número por la constante de proporcionalidad:

% éxito para 5e = ( 21 - Dificultad ) x 5

Esa es nuestra probabilidad. Si quiero escalar una montaña, la CD es 20 y mi bonificador final es +4 (con lo cual, la Dificultad Final sería 20-4=16), la probabilidad de éxito será ( 21 - 16) ) x 5 = 5 x 5 = 25%.

Ejemplos

Para casos más particulares:

• La probabilidad base para cualquier acción media (CD 15), con un bonificador de +0, es de 21 - 15 = 6, 6 x 5 = 30%. Cualquier personaje torpe conseguirá una tirada de dificultad media un 30% de las veces, y mejorará en un 5% por cada +1 que tenga.
• La probabilidad base para algo fácil (CD 10) será de 55%, más 5% por cada +1. Fijaos que una acción fácil, sin ningún tipo de bono, es más fácil de superar que de fallar.
• Si es difícil (CD 20), será solo de 5%, más 5% por cada +1.

Y para niveles de PJ muy gordos:

• Para un PJ de nivel 20 con su característica a tope (20, bono +5) y sin dotes raras, su bono final será +5 por característica y +6 por competencia, total de +11. La probabilidad de éxito para una acción media (CD 15) será de 85%.
• Para ese mismo PJ, al hacer algo difícil (CD 20), su probabilidad de éxito será de un total de 55%. 

Eso nos da que pensar sobre acciones fáciles que queremos realizar cuando aún somos PJ de nivel bajo sin ningún tipo de bono, ¿verdad? Tener éxito es casi un cara o cruz.

También vemos que para un PJ muy poderoso pero sin dotes raras, solo conseguirá algo difícil el 55% de las veces y, para conseguir algo medio, aún fallará el 15% de las veces. Si solo hacemos una tirada, es un porcentaje considerable de tener éxito, pero en esas acciones que requieren muchas tiradas seguidas, la probabilidad de fracaso comienza a incrementarse mucho: cuando al DM le da por obligarnos a tirar por escalar un montón de veces, la probabilidad de pegarse una toña es muy, pero que muy alta :O (esto es un tema a tener en cuenta a la hora de diseñar nuestras propias mecánicas, pero eso es otro tema).

También tenemos que tener en cuenta a los personajes expertos, aquellos que duplican (ya sea por dote o habilidad) su nivel de competencia (maravilla, oiga). En ese caso, para el PJ tocho de antes, el +6 por competencia sería un +12 (una mejora del 30%) y a nivel 20 con un +5 en característica, el bono sería de +17. Los porcentajes serían de 100% para algo medio (95% si consideramos el 1 como pifia) y un 85% de éxito para algo difícil.

Bueno, esta era la parte fácil del artículo, la de sumar y restar números para superar una dificultad. Pasemos a hablar de palabras mayores: tiradas con ventaja y desventaja.

Tirada con ventaja

La regla de ventaja y desventaja la crearon en 5e para simplificar todo el tema de modificadores, ya que antes tenías que comenzar a añadir múltiples sumandos cuando realizabas una acción, que encima tenías que recordar o ir consultando de una tabla (benditas pantallas de máster): por ejemplo, si flanqueabas (+2) y tenías algún tipo de cobertura (pongamos +5 como ejemplo) y encima atacabas desde una posición más alta (+2), tendrías un bonificador final de +2+5+2=+9. Para evitar tener que recordar tantos modificadores diferentes, decidieron simplificar con la regla de ventaja o desventaja, para bien (más sencillo) o para mal (simplificación por exceso).

Pero esto también tiene un efecto adicional: hace que la probabilidad de éxito ya no se incremente linealmente: tener un +1 ya no te mejora siempre un +5% la probabilidad de éxito cuando tienes ventaja o desventaja, sino que dependerá de otros factores. En general, tirar con ventaja proporcionará su mayor beneficio cuando hagamos tiradas medias (cuando necesitamos sacar un 11 o más en el d20, donde un +1 significa un +25% a la probabilidad de éxito) y su menor beneficio para tiradas bajas o altas (por ejemplo, si tienes que sacar un 1 exacto o un 20 exacto, el beneficio respecto a una tirada de 1d20 es de solo de +4,75%).

Fórmula para calcular la probabilidad con ventaja

En este caso, la probabilidad con ventaja se calcularía así: calculamos la probabilidad de tener éxito en uno de los dados y le sumamos la probabilidad de éxito del segundo dado cuando el primero dado ha fallado:

% éxito con ventaja = % éxito en el primer dado + % fallo en el primer dado x % éxito en el segundo dado.

Siendo % fallo en el primer dado igual a 100% - % éxito en el primer dado.

Como el primero y segundo dado tienen la misma probabilidad, lo llamaremos éxito simple y fallo simple y simplificamos a: 

% éxito con ventaja = % éxito simple + % fallo simple x % éxito simple.

O, si queremos trabajar con la escala de 1 a 20, en lugar de porcentual:

% éxito con ventaja = ( (21 - Dificultad) / 20 + (Dificultad - 1) / 20 * (21 - Dificultad) / 20 ) x 100

Nota: si tuviésemos más de 2 dados, que en 5e no es el caso, pero solo como curiosidad, la probabilidad para N dados sería (siendo dado 1 = d1, dado 2 = d2, etc.):

% éxito final = % éxito d1 + % fallo d1 x ( % éxito d2 + % fallo d2 x ( % éxito d3 + % fallo d3 x ...( % éxito dN)...))

Es decir, que como tengamos muchos dados y queramos calcular la ventaja, nos va a tocar anidar muchos, muchos, muchos paréntesis hasta llegar al último dado 😱.

La pregunta que nos puede surgir es, ¿cómo podemos identificar cuál es el primer dado, si tiramos los dos a la vez? La respuesta corta es sencilla: a la estadística eso le da igual. Como te vale éxito en cualquiera de los dos, en cuanto obtengas éxito en uno, el segundo dado lo puedes ignorar (¡a no ser que sea crítico, claro! Pero aquí no estamos hablando de críticos). Únicamente miras el segundo dado si ves que el primero ya ha fallado.

La respuesta larga implicaría el siguiente desarrollo matemático, ya que la fórmula real de la probabilidad de éxito sería la probabilidad de obtener éxito en los dos dados a la vez (éxito d1 x éxito d2) más la probabilidad de obtener éxito en el primer dado y fallo en el segundo (éxito d1 x fallo d2) más la probabilidad de obtener fallo en el primer dado y éxito en el segundo (fallo d1 x éxito d2):

% éxito final = % éxito d1 x % éxito d2 + éxito d1 x % fallo d2 + % fallo d1 x % éxito d2

Que, según la regla distributiva, se puede reducir a:

 % éxito final = % éxito d1 x (% éxito d2 + % fallo d2) + % fallo d1 x % éxito d2.

Cómo % éxito d2 + % fallo d2 es 100%:

% éxito final = % éxito d1 x 100% + % fallo d1 x % éxito d2 = % éxito d1 + % fallo d1 x éxito d2.

Y como d1 y d2 son dos dados iguales con el mismo modificador, la probabilidad de éxito y fallo para ambos es la misma, éxito simple:

% éxito final = % éxito simple + % fallo simple x % éxito simple

Ejemplos

Así que, usando los mismos porcentajes particulares de antes, tenemos:

• Para una acción media (CD 15) con un bonificador de +0, donde la probabilidad de éxito para una tirada normal era de 30%, con ventaja sería 30% + 70% x 30% = 51%, un 21% más de probabilidad de éxito.
• Para una acción fácil (CD 10), sería de 55% + 45% x 55% =  79,75%, un 24,75% más.
• Para una acción difícil (CD 20), sería de 5% + 95% x 5% = 9,75%, un 4,75% más, es decir, la ventaja solo te aporta algo menos del 5% de las veces.
• El mayor beneficio de la ventaja se daría cuando la dificultad final (aplicando modificadores) es 11, donde la probabilidad de éxito sería de 50% + 50% x 50% = 75%, un 25% extra.

Como curiosidad adicional, la probabilidad de obtener un resultado específico en la tirada antes de aplicar bonificadores (por ejemplo, obtener un 15 en 1d20 con ventaja; no 15 o más, sino un 15 exacto) es la siguiente, donde podemos ver que la probabilidad de obtener un crítico cuando se tira con ventaja es de un 9,75% y una pifia, solo un 0,25%.

Tirada con desventaja

Fórmula para calcular la probabilidad con ventaja

La tirada de desventaja se aplica de otra forma: cuando quieras que dos dados tengan éxito, debes multiplicar la probabilidad de ambos, no sumar. Si tuviésemos 3 dados, multiplicaríamos los tres. Y así, sucesivamente:

% éxito con desventaja = % éxito d1 x % éxito d2 x % éxito d3 x ... x % éxito dN.

Así que, para 5e tenemos:

% éxito con desventaja = % éxito normal x % éxito normal.

o, lo que es lo mismo, pero trabajando en escala de 1 a 20:

% éxito con desventaja = [ (21 - Dificultad) / 20 x (21 - Dificultad) / 20 ] x 100

Análogamente a lo que ocurría con la ventaja, esto perjudica más cuando nuestra probabilidad de éxito es media (cuando tenemos que sacar 11 o más) que cuando es muy baja (sacar 20 para tener éxito) o muy alta (más de 1) :

Ejemplos

• Para una acción media (CD 15) con un bonificador de +0, donde la probabilidad de éxito para una tirada normal era de 30%, con desventaja sería 30% x 30% = 9%, un 21% menos de probabilidad de éxito.
• Para una acción fácil (CD 10), sería de 55% x 55% =  30,25%, un 24,75% menos.
• Para una acción difícil (CD 20), sería de 5% x 5% = 0,25%, un 4,75% menos, menos del 1% de probabilidad de éxito.
• El mayor perjuicio de la desventaja se daría con dificultad final 11, con una probabilidad de 50% x 50% = 25%, un 25% menos.

Efectivamente, la probabilidad de éxito con ventaja y con desventaja modifican la probabilidad en igual medida, solo que al tirar por ventaja se suma (es más fácil conseguir éxito) y, al tirar con desventaja, se resta (es más fácil fallar).

En el caso de la desventaja, la probabilidad de obtener un resultado específico al tirar con desventaja ya antes de aplicar bonificadores, es el siguiente, donde lo más probable es que salga un 1 (un 9,75%) y es muy poco probable poder obtener un 20 (un 0,25%).

Resumiendo

Este artículo ha salido larguísimo, ya lo siento; quería explicarlo muy sencillo, paso a paso, pero claro, eso alarga la explicación. Al menos las gráficas pueden resultar útiles para que, si te cuestan un poco las matemáticas, al menos si puedas saber lo fácil o difícil que es tener éxito. Me parece, sobre todo, interesante para ver cómo se incrementa la probabilidad de éxito cuando tenemos ventaja, así que, ¡buscad siempre la ventaja!

El cálculo es muy sencillo para cuando nos enfrentamos a una dificultad fija, incluso con ventaja o desventaja (no es tan natural para hacerlo mientras jugamos, pero tampoco es una locura). En el siguiente artículo, veremos la probabilidad de éxito cuando hacemos tiradas enfrentadas, y ahí sí veremos que se complican un poco más las cosas.