Estadística rolera: éxito en tirada enfrentada de un dado cualquiera

Vimos recientemente la probabilidad de tener éxito en una tirada enfrentada en D&D, donde cada contrincante lanza d20, se suma una habilidad y vence el que obtenga el resultado más alto.

Y para clacular la probabilidad, llegamos a una fórmula que bien se podría aplicar a cualquier sistema similar con un dado de cualquier número de caras.

Quizá habría sido interesante haber visto primero el cálculo genérico y luego haberlo aplicado a D&D. Pero no lo hicimos así, mala suerte; así que este artículo es un poco como para compensar ese error de diseño.

Artículos de estadística

• Estadística rolera: Pequeña introducción.
• Tener éxito en D&D en tiradas simples.
• Tener éxito en D&D en tirada enfrentada.
• Éxito en una tirada enfrentada de un dado para cualquier sistema (este artículo)

Resumen y tablas

Si solo te interesan ver los resultados finales y pasas de blablablas estadísticos, te puedes quedar en este apartado y no avanzar más: aquí tienes las tablas de probabilidad de éxito, así como las instrucciones que puedes usar en anydice.com para obtener estos mismos resultados.

Nota: para facilitar la consulta en la tabla, primero hay que calcular la diferencia entre el bonificador que tiene cada contendiente (diferencia = bonificador más alto - bonificador más bajo). Lo hago así porque la tabla es más sencilla de consultar y estadísticamente la probabilidad es la misma si enfrentamos 1d6+3 contra 1d6+1 que si enfrentamos 1d6+2 (que es 3-1) contra 1d6. La probabilidad de éxito es para el personaje con la habilidad más alta, y ese mismo porcentaje sería la probabilidad de fallo del personaje con la habilidad más baja.

Fórmulas para calcular las probabilidades, donde C es el número de Caras del dado y Dif es la diferencia de modificadores entre ambos contendientes:

% éxito = (1/ C) * ( Dif +  Σ^C-1_N=Dif N / C )

% empate = (C - Dif) x (1/C)²

% fallo = 100% - % de éxito - % de empate.

Probabilidad de éxito según dificultad en tirada normal enfrentada y tamaño del dado:

Probabilidad de éxito según tamaño de dado y diferencia de habilidad

Gráfico de probabilidades:

Instrucciones que hay que usar en AnyDice para conocer la probabilidad de éxito en un tirada enfrentada normal de D&D:

• Tirada normal enfrentada: output 1d6 + bonificador primer personaje > 1d6 + bonificador segundo personaje.
• O, lo que es lo mismo, tirada normal enfrentada: output 1d6 + Diferencia de bonificadores > 1d6.

Si realmente quieres saber de dónde vienen todos estos cálculos, puedes seguir avanzando.

Un dado por contendiente, gana la tirada más alta

Tenemos dos personajes que se enfrentan: P1 y P2. Ambos tiran un dado con el mismo número de caras (C caras), que llamaremos 1dC1 para P1 y 1dC2 para P2; y cada uno aplica un modificador a su tirada, que podría por ejemplo ser el nivel de habilidad, que llamaremos M1 (para P1) y M2 (para P2). Vence el que obtenga el resultado más alto, mientras que si sacan el mismo resultado, es un empate, que calcularemos aparte (su utilidad dependerá de cada situación, si queremos considerar el empate como victoria para uno de los dos contendientes; pero si calculamos la probabilidad de empate aparte, luego podemos sumarla a lo que más interese en cada momento).

Para que venza, P1, se tiene que dar el siguiente resultado:

1dC1 + M1 > 1dC2 + M2

Podemos pasar M2 a la izquierda, restándolo de M1 para obtener la diferencia (Dif = M1 - M2) de modificadores: 

1dC1 + M1 - M2 > 1dC2
1dC1 + Dif > 1dC2

Para saber la probabilidad de que P1 gane, hay que hacer el cálculo para cada posible resultado que pueda obtener P1. 

Imáginemos que ambos tienen el mismo modificador (Dif = 0). Tenemos que calcular la probabilidad de éxito de P1 cara a cara: la probabilidad que tiene de sacar una cara determinada (siempre es 1/C, sea la cara que sea) y multiplicar ese resultado por la probabilidad de que P2 saque un número inferior:

Probabilidad de éxito de P1 si obtiene un número cualquiera, Q, es = (1 / C) x (Q-1 / C).

Por ejemplo, si estamos comparando dos tiradas con 1d4:

• La probabilidad de que P1 obtenga 4 en 1d4 (1 posibilidad de entre 4 caras) y saque más que P2 (que será cuando obtenga menos de 4, es decir, 3 posibilidades entre 4 caras) es (1 / 4) x (3 / 4).

Pero eso es solo para un resultado. Ese cálculo hay que hacerlo para todos los posibles valores en la tirada de P1 (en 1d4, hay 4 posibilidades):

• La probabilidad de que P1 obtenga 3 en 1d4 (1 entre 4) y saque más que P2 (si saca menos de 3, es decir, 2 posibilidades entre 4 caras), es (1/4) x (2/4) (no voy a hacer reducción de fracciones)
• La probabilidad de que P1 obtenga 2 en 1d4 (1 entre 4) y saque más que P2 (si saca menos de 2, es decir, 1 posibilidades entre 4 caras), es (1/4) x (1/4)
• La probabilidad de que P1 obtenga 1 en 1d4 y venza es 0, ya que P2 nunca podrá sacar menos de 1.

Y eso se representa así de fácil (donde el símbolo Σ, sumatorio, indica que vamos a sumar una repetición variable para varios elementos, y donde N va a ir cambiando de uno a uno, desde 1 hasta C-1)

% éxito = Σ ^C-1_N=1 (1 / C) x (N / C)

Adecentando un poco

% éxito = (1 / C) x Σ^C-1_N=1 N / C

Por ejemplo, para 1d4 tendríamos:

% éxito = (1/4) x ( Σ³_N=1 N / 4 )

% éxito = 1/4 x (1/4 + 2/4 + 3/4) = 1/4 x 6/4 = 6/16 = 0,375 = 37,5%

Pero eso es para cuando ambos personajes tienen la misma habilidad. Si uno tiene una habilidad más alta (el cálculo se ha hecho pensando siempre que P1 tiene más habilidad que P2), hay que añadir una modificación al cálculo. El cálculo se simplifica si, en lugar de añadir el modificador a cada personaje, tenemos en cuenta la diferencia de ambos modificadores.

Por cada punto de diferencia, P1 tiene una probabilidad base de éxito igual a 1/C, directamente, ya que hay una tirada en el dado con el que siempre ganará a P2, saque lo que saque P2.

Por ejemplo, si P1 tiene 1d4+3 y P2 1d4+2, la diferencia es 1. Si P1 obtiene 4 en el dado (y luego le suma +3 para un total de 7), P2 nunca podrá ni siquiera empatar, porque su resultado más alto es 4+2=6. P1 tiene 1/4 probabilidades básicas de éxito, antes de calcular el resto de tiradas. Para el resto de tiradas, se calcula de forma parecida a la anterior, pero teniendo en cuenta los modificadores (o la diferencia, si se suma solo al resultado obtenido por P1 en el dado):

• La probabilidad de que P1 obtenga 3 en 1d4 (1 entre 4) y, tras sumar modificadores, saque más que P2 (si saca menos de 4, es decir, 3 posibilidades entre 4 caras), es (1/4) x (3/4)
• La probabilidad de que P1 obtenga 2 en 1d4 (1 entre 4) y, tras sumar modificadores, saque más que P2 (si saca menos de 3, es decir, 2 posibilidades entre 4 caras), es (1/4) x (2/4)
• La probabilidad de que P1 obtenga 1 en 1d4 y, tras sumar modificadores, saque más que P2 (si saca menos de 2, es decir, 2 posibilidades entre 4 caras), es (1/4) x (1/4)

% éxito = (1/ C) x Dif + (1 / C) x Σ^C-1_N=Dif N / C

% éxito = (1/ C) x ( Dif +  Σ^C-1_N=Dif N / C )

Por ejemplo, para 1d4 con un +1 de diferencia entre modificadores tendríamos:

% éxito = (1/ 4) x (1 + Σ³_N=1 N / C) = (1 / 4) x (1 + 1 / 4 + 2 / 4 + 3 / 4)

% éxito = (1 / 4) x (1 + 6 / 4)  = (1 / 4) x (10 /  4) = 10 / 16 = 0,625 = 62,5%

Hay un pequeño cambio llamativo (una trampa) entre la primera fórmula que pusimos, cuando no hay diferencia de modificadores (Dif = 0). Aunque el mínimo del sumatorio parezca el mismo que si lo comparamos con Dif = 1 (N = 1), realmente para la fórmula inicial iría de 0 hasta C-1 y no de 1 a C-1. Lo que pasa es que, para N = 0, tenemos N / C = 0 / C, que es cero y no aporta nada, pero la fórmula estaba un poco trampeada. La fórmula real sería aplicando este segundo cálculo.

Probabilidad de empate

He excluido de la probabilidad de éxito el caso en el que ambos obtengan el mismo resultado. Ese caso lo tenemos que calcular aparte ya que, dependiendo de cada situación, nos puede interesar que se sume la probabilidad de empate al éxito, que se considere un empate o que pierda. Es decir, que cada uno lo sume donde le dé la gana. Así que también tendremos que hacer un cálculo adicional, que será la probabilidad en cada tirada de que ambos empaten. En nuestro ejemplo, donde la diferencia era +2, sería si P1 saca un 1 natural y P2 un 3; y si P1 saca un 2 natural y P2 un 4; etc:

% empate = Σ ^C-Dif
_N=1de (% P1 de sacar N) x (% P2 de sacar N+Dif)

O, haciéndolo más fácil, ya que la probabilidad de obtener un número fijo (ya sea N o N+Diferencia) es siempre 1/C:

% empate = 1/C x 1/C se repite C-Dif veces
% empate = (C - Dif) x (1/C)²

Por ejemplo, para 1d4 con una diferencia de 1, tendríamos

% empate = (4 - 1) x (1/4)² = 3 x 1/16 = 0,1875 = 18,75%

Probabilidad de fallo

Para calcular la probabilidad de perder, solo hay que restar: 

% fallo = 100% - % de éxito - % de empate. 

Que podríamos ponernos a calcular la fórmula exacta para sacarlo, pero llegado este punto, ya me da pereza 😅