Estadística rolera: tener éxito en D&D en tirada enfrentada normal

Tras el artículo anterior, en el que vimos cómo se calcula la probabilidad de tener éxito en D&D para tiradas simples (y con tiradas simples, me refiero a tirar contra una dificultad fija, ya sea una tirada normal, con ventaja o con desventaja), en este artículo vamos a ver la probabilidad de tener éxito en D&D en tiradas enfrentadas: es decir, cuando se tiran dados por dos contendientes y vence el que obtenga la tirada más alta.

En este artículo solo nos vamos a detener entre tiradas enfrentadas normales, sin ventajas ni desventajas, ya que eso es más complejo de calcular y merece su artículo aparte. También vamos a ignorar los críticos y las pifias, ya que en la teoría en D&D no se usan para las tiradas de habilidad, sino solo para el combate (si quisiésemos aplicarlos, habría que cambiar un poco los cálculos que se han hecho).

Artículos de estadística

• Estadística rolera: Pequeña introducción.
• Tener éxito en D&D en tiradas simples.
• Tener éxito en D&D en tirada enfrentada: este mismo artículo.
• Resumen y tablas
• Tiradas enfrentadas (explicación)

Resumen y tablas

Si solo te interesan ver los resultados finales y pasas de blablablas estadísticos, te puedes quedar en este apartado y no avanzar más: aquí tienes las tablas de probabilidad de éxito, así como las instrucciones que puedes usar en anydice.com para obtener estos mismos resultados.

Nota: para facilitar la consulta en la tabla, primero hay que calcular la diferencia entre el bonificador que tiene cada contendiente (diferencia = bonificador más alto - bonificador más bajo). Lo hago así porque la tabla es más sencilla de consultar y estadísticamente la probabilidad es la misma si enfrentamos 1d20+3 contra 1d20+1 que si enfrentamos 1d20+2 (que es 3-1) contra 1d20. La probabilidad de éxito es para el personaje con la habilidad más alta, y ese mismo porcentaje sería la probabilidad de fallo del personaje con la habilidad más baja.

Probabilidad de éxito según dificultad en tirada normal enfrentada:

Probabilidad de éxito según diferencia de habilidad

Gráfico de probabilidades:

Gráfica de probabilidad de éxito según diferencia de habilidad

Instrucciones que hay que usar en AnyDice para conocer la probabilidad de éxito en un tirada enfrentada normal de D&D:

• Tirada normal enfrentada: output 1d20 + bonificador primer personaje >= 1d20 + bonificador segundo personaje.
• O, lo que es lo mismo, tirada normal enfrentada: output 1d20 + Diferencia de bonificadores >= 1d20.

Ejemplo con anydice.com para enfrentar 1d20+5 contra 1d20

Si realmente quieres saber de dónde vienen todos estos cálculos, puedes seguir avanzando.

Tiradas enfrentadas

En el anterior artículo vimos cómo calcular la probabilidad de éxito en tiradas simples, que era más o menos sencillo (se complicaba con las ventajas y desventajas).

¿Pero qué ocurre en tiradas enfrentadas? En esos casos, la dificultad no es un número fijo, sino que nos enfrentamos a la tirada del enemigo. Ahí vence el que saca mejor tirada, y ya no es tan sencillo de calcular. Ya no tenemos una probabilidad lineal.

Supongamos que se enfrentan dos personajes: P1 es el personaje 1 y P2, el personaje 2.

El cálculo, que es comparar dos resultados ( 1d20 + bonificador de P1 > 1d20 + bonificador de P2), lo podemos simplificar con esta operación: 

1d20 de P1 + (diferencia de habilidad P1 - P2)  > 1d20 de P2.

Sí, así no lo explican en D&D, pero matemáticamente es lo mismo y simplifica la tabla de resultados sobremanera (no necesitamos cruzar filas para P1 con columnas para P2).

Recordemos: estamos ignorando tiradas con ventaja/desventaja, ya que ahí se complica aún más el tema. Dejemos esa parte para otro artículo. También vamos a ignorar resultados críticos y pifias (en teoría, en D&D no existen más que para el combate, no para las tiradas de habilidad).

Si hay una diferencia entre ambas habilidades, el que tiene el valor más alto tiene un 5% de éxito garantizado por cada punto de diferencia. Por ejemplo, si P1 tiene +3 y P2 tiene +1, la diferencia es +2. Eso significa que si P1 saca 19 o 20, P2 no le podrá igualar con ninguno de sus resultados: 2 x 5% = 10% de probabilidad de éxito de base. Nos vamos a ahorrar unos cuantos números a la hora de calcular (y jugando con dados de 20 caras, cuantos más números nos ahorremos, mucho mejor).

Aparte de esa probabilidad básica, por cada resultado natural diferente que obtenga P1 en el d20, podemos calcular la probabilidad de que venza al P2 (lo calculamos multiplicando la probabilidad de P1 de obtener ese resultado en 1d20 por la probabilidad de que P2 obtenga menos). Sumaremos todos esos resultados para saber la probabilidad final:

% éxito = diferencia x 5% (esto es lo que hemos dicho antes) + (% de que P1 saque 20 - diferencia en 1d20) x (% de que P2 saque menos de 20 en 1d20) + (% P1 de sacar 19 - diferencia) x (% P2 de sacar menos de 19) + (% P1 de sacar 18 - diferencia) x (% P2 de sacar menos de 18) + ... + (% P1 de sacar 1) x (% P2 de sacar un valor igual a la diferencia o menos).

Como todas las probabilidades de P1 de obtener un único número en 1d20 es siempre 5%, podemos simplificar:

% éxito = diferencia x 5% + 5% x (95% P2 de sacar menos de 20) + 5% x (90% P2 de sacar menos de 19) + 5% x 85% + ... + 5% x (diferencia x 5%)

o, simplificando más:

% éxito = 5% x (diferencia + 95% + 90% + 85% + ... + diferencia x 5%)

Se nos ha complicado un poco el cálculo, ¿verdad? ¡Diantres, D&D ya no es tan lineal cuando enfrentamos tiradas! ¡Malditos adoradores de las distribuciones roleras no lineales!

Usando símbolos matemáticos desde mi desconocimiento, se nos quedaría algo tal que así (donde el símbolo Σ, sumatorio, indica que vamos a sumar una repetición variable para varios elementos, y donde N va a ir cambiando desde "diferencia" hasta 19):

% éxito = 5% x (diferencia + Σ ¹⁹_N=dif N x 5% )

He excluido de la probabilidad de éxito el caso en el que ambos obtengan el mismo resultado. Ese caso lo tenemos que calcular aparte ya que, dependiendo de cada situación, nos puede interesar que se sume la probabilidad de empate al éxito, que se considere un empate o que pierda. Es decir, que cada uno lo sume donde le dé la gana. Así que también tendremos que hacer un cálculo adicional, que será la probabilidad en cada tirada de que ambos empaten. En nuestro ejemplo, donde la diferencia era +2, sería si P1 saca un 1 natural y P2 un 3; y si P1 saca un 2 natural y P2 un 4; etc:

% empate = Σ ^20-Dif
_N=1de (% P1 de sacar N) x (% P2 de sacar N+Dif)

O, haciéndolo más fácil, ya que la probabilidad de obtener un número fijo (ya sea N o N+Diferencia) es siempre 5%:

% empate = (20 - diferencia) x (5% x 5%)

Como veis, hay que ir yendo uno a uno, tirada a tirada, para calcular el resultado final. Pero, cuando se enfrentan dos tiradas normales (sin ventaja ni desventaja), este cálculo se consigue simplificar bastante. ¡Si parece hasta sencillo! Bueno, realmente no, no lo parece 😅.

Para calcular la probabilidad de perder, solo hay que restar: 

% perder = 100% - % de ganar - % de empatar. 

¡Eso sí que es sencillo! Oye, que también podíamos habernos puesto a calcular la probabilidad de perder sin tener los otros valores, pero creo que ya nos hemos cansado hoy más que suficiente de tanto numerajo del demonio.

Lo mismo se me ha ido algún cálculo en las fórmulas en algún momento de transcribirlas en el artículo... pero bueno, en la hoja de cálculo me salió bien, y ahí tenéis la tabla resumida para lo que os haga falta.