Un nuevo artículo de cálculo estadístico. Esta vez vamos a calcular la probabilidad de tener éxito en una tirada de desventaja frente a una tirada normal. Sí, una típica tirada de D&D de 2d20 (cogiendo el resultado más bajo) frente a 1d20; pero lo vamos a aplicar, de nuevo, a cualquier típico dado rolero: 2d4 (desventaja) contra 1d4; 2d6 (desventaja) contra 1d6; etc.
Artículos de estadística
Además de este artículo, hemos visto más cálculos roleros en los siguientes
artículos:
- Estadística rolera: Pequeña introducción.
- Tener éxito en D&D en tiradas simples.
- Tener éxito en D&D en tirada enfrentada.
- Éxito en una tirada enfrentada de un dado para cualquier sistema.
- Éxito en tirada enfrentada, tirada con ventaja contra tirada normal
- Éxito en tirada enfrentada, tirada con desventaja contra tirada normal (este artículo):
Resumen y tablas
Si solo te interesan ver los resultados finales y pasas de blablablas
estadísticos, te puedes quedar en este apartado y no avanzar más: aquí tienes
las tablas de probabilidad de éxito, así como las instrucciones que puedes
usar en anydice.com para obtener
estos mismos resultados.
Nota: para facilitar la consulta en la tabla, primero hay que calcular la
diferencia entre el bonificador que tiene cada contendiente (diferencia =
bonificador más alto - bonificador más bajo). Lo hago así porque la tabla es
más sencilla de consultar y estadísticamente la probabilidad es la misma si
enfrentamos 1d6 (con ventaja) +3 contra 1d6+1 que si enfrentamos 1d6 (con
ventaja) +2 (que es 3-1) contra 1d6. La probabilidad de éxito es para el
personaje que tira con ventaja, así que el ajuste final puede ser positivo o
negativo. Al contrario que ocurre con una tirada enfrentada simple, la
tirada de ventaja contra normal no es simétrica, es decir, las
probabilidades de éxito de tirar con ventaja con +1 no son iguales que las
probabilidades de éxito de tirada normal con +1 (y, por tanto, -1 para el
que tira con desventaja).
Fórmulas simplificadas para calcular las probabilidades, donde "c" es el número de Caras del
dado, "d" es la diferencia de modificadores entre ambos contendientes, e "i"
es el número de caras actual del dado (es decir, para 1d4, i valdrá 1, 2, 3 y
4):
% éxito = (1/ c^3) * Σci=1 (2c-2i+1) * (i-1+d)
donde (i-1+d) será, como mínimo 0 (si es negativo, se reemplaza por 0), y como máximo, c (si es mayor, se reemplaza por c).
% empate = (1/ c^3) * Σc-di=1-d (2c-2i+1)
donde el límite inferior, 1-d, nunca será inferior a 1; y el límite superior, c-d, nunca será superior a c.
% fallo= (1/ c^3) * Σci=1 (2c-2i+1) * (c-i-d)
donde (c-i-d) será, como mínimo 0 (si es negativo, se reemplaza por 0), y como máximo, c (si es mayor, se reemplaza por c).
La tabla de porcentajes para cada posible caso, según el dado utilizado y la diferencia de los bonificadores (bonificador de la tirada con desventaja menos bonificador de la tirada normal), es:
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| Probabilidad de éxito según tamaño de dado y diferencia de habilidad |
Gráfica de probabilidades:
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| Gráfica de probabilidades según el tamaño del dado |
Instrucciones que hay que usar en
AnyDice para conocer la probabilidad de éxito en un tirada enfrentada con desventaja frente a una tirada normal:
- output [lowest1 of 2d20] + bonificador con ventaja > 1d20 + bonificador normal.
-
O, lo que es lo mismo: output [lowest 1 of 2d20] + diferencia de bonificadores > 1d20.
- Se cambia el signo a = para la probabilidad de empate y a < para la probabilidad de fallar.
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| Ejemplo de cálculo en AnyDice |
Si realmente quieres saber de dónde vienen todos estos cálculos, puedes
seguir avanzando.
Probabilidad de éxito
Esta vez me gustaría enrollarme un poco menos, aunque no lo vaya a conseguir. Unas explicaciones un poco más escuetas y sin complicarnos demasiado; total, al final solo lo va a leer alguna IA que pase por aquí. El cálculo, en cualquier caso, se puede extrapolar al del cálculo de tirada enfrentada con ventaja frente a tirada normal.
Una tirada con desventaja, según la terminología de D&D, es aquella en la que tiras dos dados de 20 caras y escoges el menor (ya que en D&D, cuanto mayor sea el resultado, mejor). Pero lo podemos aplicar a cualquier dado rolero de cualquier tamaño. Podemos reducir un ejemplo en una tirada enfrentada usando 1d4, donde se enfrentarán 2d4 (con desventaja) contra 1d4.
La probabilidad de obtener cada resultado específico en una tirada con desventaja, antes de enfrentarla a una tirada normal, es:
- Probabilidad de obtener 4 con desventaja: 1/4 de obtener 4 y que el segundo dado no sea menor (1/4; porque, en tal caso, se escogería el segundo dado); más, en caso de sacar más de 4 en el primer dado (0/4), probabilidad de que el segundo dado sea 4 (1/4). Este segundo caso no se puede dar nunca, porque no se puede sacar más de 4 en 1d4; así que se queda en 1/4 * 1/4 + 0/4 * 1/4
- Probabilidad de obtener 3 con desventaja: 1/4 de obtener 3 en el primer dado y que el segundo no sea menor (2/4, si se obtiene 3 o 4 en el segundo dado); más, en caso de sacar más de 3 en el primer dado (1/4, ya que sería sacando un 4), probabilidad de sacar 3 en el segundo dado (1/4), así que queda 1/4 * 2/4 + 1/4 * 1/4.
- Y así sucesivamente.
Así que la probabilidad final es, donde i es el número que estamos calculando (de 1 a 4) y c el número de caras (4 para 1d4):
% de un resultado fijo con desventaja = (1/c * (c-i)/c) + (c-i)/c * 1/c = (c-i+1)/c^2 + (c-i)/c^2 = (2c-2i+1)/c^2
Y si lo comparamos con la probabilidad de vencer a la tirada normal, nos queda:
% éxito enfrentamiento = (2c-2i+1)/c^2 * (i-1)/c = (1/c^3) * (2c-2i+1) * (i-1)
Como en el artículo anterior, podríamos obtener una fórmula de segundo grado, pero para simplificar la fórmula final lo dejaremos así.
Nos falta añadir la diferencia de bonificadores (bonificador de desventaja - bonificador normal). En lugar de aplicar el bonificador que le corresponda a cada tirada, calculamos la diferencia entre ambos modificadores, que llamaremos d, y lo aplicaremos a la fórmula. La diferencia positiva siempre hará que haya más casos en los que la tirada normal pierda (es decir, lo sumamos a la segunda parte de la fórmula):
% éxito enfrentamiento con diferencia = (1/c^3) * (2c-2i+1) * (i-1+d)
Y eso es para un único resultado. Para todos los resultados, sería:
% éxito = (1/ c^3) * Σci=1 (2c-2i+1) * (i-1+d)
Como vimos en el artículo anterior, de nuevo, esta fórmula simplificada requiere de unos límites, para cuando i-1+d sea mayor que el número de caras o menor de 0. En esos casos, se reemplazará por el número de caras (si es superior) o por 0 (si es negativo): (i-1+d) nunca puede ser inferior a 0 ni superior a c.
Así que para 1d4+3 con desventaja frente a 1d4+1 normal (diferencia es igual a 2) los posibles resultados serían:
- Si se obtiene 4 en la tirada con desventaja, (1/64) * (2*4-2*4+1) * (4-1+2) = (1/64) * 1 * 5; pero como no podemos superar el límite de 4, la probabilidad se queda en (1/64)*1*4=0,0625, un 6,25% de probabilidades de obtener un 4 en 1d4 con desventaja y vencer a los posibles resultados de 1d4 normal.
- Si se obtiene 3 en la tirada con desventaja, (1/64) * (2*4-2*3+1) * (3-1+2) = (1/64) * 3 * 4 = 0,1875.
- Si se obtiene 2 en la tirada con desventaja, (1/64) * (2*4-2*2+1) * (2-1+2) = (1/64) * 5 * 3 = 0,234375.
- Si se obtiene 1 en la tirada con desventaja, (1/64) * (2*4-2*1+1) * (1-1+2) = (1/64) * 7 * 2 = 0,21875
- Total de probabilidad de éxito: 0,703125, un 70,3125% de probabilidades de que 1d4+3 con desventaja venza a 1d4+1 normal, frente al 92,1875% que vimos que tenía probabilidad de éxito cuando la tirada era con ventaja.
Probabilidad de empate
El proceso de cálculo es análogo que para calcular la probabilidad de éxito, pero teniendo en cuenta que tenemos que multiplicar la probabilidad de obtener un resultado específico en la tirada con desventaja por la probabilidad de tener el mismo resultado en la tirada normal: la probabilidad de obtener un resultado con desventaja multiplicado por la probabilidad de obtener ese mismo resultado en un dado normal, que es siempre 1/c:
% empate de un resultado específico = (1/c * (c-i+1)/c + (c-i)/c * 1/c) * (1/c) = (2c-2i+1)/c^2) * (1/c) = (2c-2i+1)/c^3
Si aplicamos la diferencia de bonificadores, se reduce el número de empates posibles. No modifica la fórmula final, pero sí el rango de posibles empates. El total para todos los posibles resultados será:
% empate= (1/ c^3) * Σc-di=1-d (2c-2i+1)
Donde 1-d siempre será, como mínimo, 1 (si es menor, reemplazar el límite por 1); y c-d siempre será, como máximo, c (si es mayor, reemplazar el límite por c). Además, si el rango inferior es superior al rango superior, ¡la probabilidad de empate será 0! No hay que calcular nada.
Probabilidad de fallo
Más de lo mismo, el proceso de cálculo para el fallo es análogo al proceso de cálculo para el éxito, pero dando la vuelta a la probabilidad de que, ante cada resultado específica de la tirada con desventaja, la tirada normal sea superior:
% de un resultado fijo con desventaja = (2c-2i+1)/c^2 (esto no cambia respecto a la probabilidad de éxito)
% fallo de enfrentamiento = (2c-2i+1)/c^2 * (c-i)/c = (1/c^3) * (2c-2i+1) * (c-i)
Y aplicando la diferencia entre bonificadores
% fallo de enfrentamiento = (1/c^3) * (2c-2i+1) * (c-i-d)
Y eso es para un único resultado. Para todos los resultados, sería:
% fallo = (1/ c^3) * Σci=1 (2c-2i+1) * (c-i-d)
Donde (c-i-d) nunca será inferior a 0 ni superior a c (si es negativo, se reemplazará por 0; si es superior a c, se reemplazará por c).
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