Estadística rolera: Éxito en tirada enfrentada, tirada con ventaja contra tirada normal

En este artículo vamos a ver la probabilidad de tener éxito en una tirada que puede ser muy común en D&D, cuando se tira con ventaja para un personaje (2 dados y se escoge el más alto frente a una tirada normal, un único dado).

Aunque lo normal sería hacerlo para D&D con 1d20, como la misma fórmula nos vale para cualquier tamaño de dado rolero común, vamos a aplicarlo a cualquier enfrentamiento: 1d4 con ventaja frente a 1d4; 1d6 con ventaja frente a 1d6; etc. Es más, el desarrollo lo vamos a realizar con 1d4, que tiene menos numeritos para analizar, pero se puede extrapolar a cualquier tamaño.

Artículos de estadística

Además de este artículo, hemos visto más cálculos roleros en los siguientes artículos:

• Estadística rolera: Pequeña introducción.
• Tener éxito en D&D en tiradas simples.
• Tener éxito en D&D en tirada enfrentada.
• Éxito en una tirada enfrentada de un dado para cualquier sistema.
• Éxito en tirada enfrentada, tirada con ventaja contra tirada normal (este artículo):
• Resumen y tablas.
• Probabilidad de éxito.
• Probabilidad de empate.
• Probabilidad de fallo.

Resumen y tablas

Si solo te interesan ver los resultados finales y pasas de blablablas estadísticos, te puedes quedar en este apartado y no avanzar más: aquí tienes las tablas de probabilidad de éxito, así como las instrucciones que puedes usar en anydice.com para obtener estos mismos resultados.

Nota: para facilitar la consulta en la tabla, primero hay que calcular la diferencia entre el bonificador que tiene cada contendiente (diferencia = bonificador más alto - bonificador más bajo). Lo hago así porque la tabla es más sencilla de consultar y estadísticamente la probabilidad es la misma si enfrentamos 1d6 (con ventaja) +3 contra 1d6+1 que si enfrentamos 1d6 (con ventaja) +2 (que es 3-1) contra 1d6. La probabilidad de éxito es para el personaje que tira con ventaja, así que el ajuste final puede ser positivo o negativo. Al contrario que ocurre con una tirada enfrentada simple, la tirada de ventaja contra normal no es simétrica, es decir, las probabilidades de éxito de tirar con ventaja con +1 no son iguales que las probabilidades de éxito de tirada normal con +1 (y, por tanto, -1 para el que tira con desventaja).

Fórmulas simplificadas para calcular las probabilidades, donde "c" es el número de Caras del dado, "d" es la diferencia de modificadores entre ambos contendientes, e "i" es el número de caras actual del dado (es decir, para 1d4, i valdrá 1, 2, 3 y 4):

% éxito = (1/ c^3) * Σ^c_i=1 (2i-1) * (i-1+d),

donde (i-1+d) será, como mínimo 0 (si es negativo, se reemplaza por 0), y como máximo, c (si es mayor, se reemplaza por c).

% empate = (1/ c^3) * Σ^c-d_i=1-d (2i-1),

donde el límite inferior, 1-d, nunca será inferior a 1; y el límite superior, c-d, nunca será superior a c.

% fallo= (1/ c^3) * Σ^c_i=1 (2i-1) * (c-i-d),

donde (c-i-d) será, como mínimo 0 (si es negativo, se reemplaza por 0), y como máximo, c (si es mayor, se reemplaza por c).

La tabla de porcentajes para cada posible caso, según el dado utilizado y la diferencia de los bonificadores (bonificador de la tirada con ventaja menos bonificador de la tirada normal), es:

Probabilidad de éxito según tamaño de dado y diferencia de habilidad

Gráfica de probabilidades:

Gráfica de probabilidades según el tamaño del dado

Instrucciones que hay que usar en AnyDice para conocer la probabilidad de éxito en un tirada enfrentada normal de D&D:

• Tirada con ventaja enfrenta a tirada normal, la probabilidad de éxito sería: output [highest 1 of 2d20] + bonificador con ventaja > 1d20 + bonificador normal.
• O, lo que es lo mismo: output [highest 1 of 2d20] + diferencia de bonificadores > 1d20.
  
• Se cambia el signo a = para la probabilidad de empate y a < para la probabilidad de fallar.

Si realmente quieres saber de dónde vienen todos estos cálculos, puedes seguir avanzando.

Probabilidad de éxito

Caray, se nos comienza a complicar el asunto. Y mira que estamos hablando solo de enfrentar dos tiradas de un dado al que se le suma una dificultad. Pero claro, esa tirada con ventaja nos complica el cálculo.

Sabemos la probabilidad de obtener un resultado específico en un dado rolero (sin trampa ni cartón): si tiene c caras, la probabilidad de obtener cada cara es 1/c. Por ejemplo, para 1d20, la probabilidad de que salga una cara cualquiera es 1/20 (que, en tanto por ciento, es 5%).

¿Pero cuál es la probabilidad de obtener un resultado específico al tirar con ventaja?

Lo primero es saber que es ventaja: es tirar dos dados y escoger el más alto. Si tiro 2d20 y obtengo 4 y 15, el resultado de la tirada con ventaja es 15.

¿Cuál es la probabilidad de obtener ese resultado? Tenemos que analizar cada resultado por separado. Nos vamos a reducir a 1d4 para facilitar los cálculos:

• Probabilidad de obtener 4: 1/4 de obtener 4 en el primer dado más, en caso de sacar menos (3/4), 1/4 de obtener 4 en el segundo dado.
• Probabilidad de obtener 3: 1/4 de obtener 3 en el primer dado más, en caso de sacar menos (2/4), 1/4 de obtener 3 en el segundo dado.

Ey, ey, espera, espera... eso no me cuadra. Porque si obtengo 3 en el primer dado y 4 en el segundo, entonces no podemos calcular la probabilidad del primer dado de forma independiente... vale, vale, tenemos que saber cómo añadir esa probabilidad, que se quedaría como:

• Probabilidad de obtener 3: 1/4 de obtener 3 en el primer dado y que el segundo nunca sea 4 (3/4) más, en caso de sacar menos (2/4), 1/4 de obtener 3 en el segundo dado.

Así que la probabilidad final es, donde i es el número que estamos calculando (de 1 a 4) y desarrollando:

% de un resultado fijo con ventaja = (1/c * i/c) + (i-1)/c * 1/c = (i/c^2) + (i-1)/c^2 = (2i-1)/c^2

¿Y qué probabilidad hay de que la tirada con ventaja venza a la tirada normal? Pues tenemos que ver la probabilidad de que, para un resultado fijo con ventaja, sea superior a la tirada normal, que sería la probabilidad de obtener un resultado fijo con ventaja multiplicado por la probabilidad de que la tirada normal sea inferior a ese resultado fijo. Es decir, por ejemplo para un resultado de 3 en una tirada con ventaja, es la probabilidad de obtener 3 con ventaja por la probabilidad de obtener 1 o 2 en la tirada normal.

% éxito enfrentamiento = (2i-1)/c^2 x (i-1)/c = (1/c^3) * (2i - 1) x (i-1)

Podríamos obtener una ecuación de segundo grado tal que así, (1/c^3) * (2i^2-3i+1), pero vamos a meter una variable más y, por facilitar el resultado final, lo vamos a dejar tal que así.

El nuevo factor que vamos a meter es la diferencia entra los bonificadores. Porque claro, no es lo mismo que un personaje tire con +0 a que lo haga con +2.

Para el ejemplo anterior con obtener 3 en 1d4 y vencer, si la tirada con ventaja tiene un +1 a favor de diferencia, la probabilidad de éxito sería la probabilidad de obtener 3 frente a la probabilidad de obtener 1 o 2 en la tirada normal... pero como tiene un +1 de ventaja, si la tirada normal obtiene 3, también perdería (porque realmente obtener 3 en 1d4 con ventaja daría un resultado final de 4). Por tanto, la fórmula, teniendo en cuenta la diferencia, que llamaremos d, sería:

% éxito enfrentamiento = (1/c^3) * (2i-1) * (i-1+d)

Y eso es para un único resultado. Para todos los resultados, sería

% éxito = (1/ c^3) * Σ^c_i=1 (2i-1) * (i-1+d)

Aunque con ese cálculo tenemos un problema: i-1 hace referencia a la probabilidad de éxito del segundo dado, que es una tirada normal (viene de (i-1)/c, lo que pasa que ese c se ha movido a c^3). Si obtenemos un 4 en la tirada con ventaja y además teníamos una diferencia de +1 (que es como si hubiese obtenido un 5), la tirada normal nunca puede ni siquiera igualar a la tirada con ventaja. Genial, eso significa que la tirada normal fallará 4/4 de todas las veces. Hasta ahí bien. ¿Pero qué pasa si la diferencia fuese +2? Según esa misma fórmula, la tirada normal siempre perdería 5/4 de las veces... ¡qué locura! No puede fallar más que un 100% de las veces, nunca un 125%. Así que ahí tenemos que poner un tope: i-1+d nunca puede ser superior a 4. Si lo fuese, se reemplaza por 4 (o por el número de caras del dado).

De igual forma, si la diferencia fuese negativa (porque la tirada normal tiene un bonificador mayor), el resultado nunca podría ser negativo, ¡no tiene sentido que la probabilidad de fallo sea negativa! Eso significa que, en esos casos, esa tirada con ventaja siempre tendrá una probabilidad de 0 de éxito.

Por tanto, debemos poner un límite a ese valor de (i-1+d): nunca puede ser inferior a 0 ni superior a c. Cuando eso ocurra, lo reemplazaremos (un -1 pasará a ser 0 y un 5 pasará a ser 4).

Así que para 1d4+3 con ventaja frente a 1d4+1 normal (diferencia es igual a 2) los posibles resultados serían:

• Si se obtiene 4 en la tirada con ventaja, (1/64) * (2*4-1) * (4-1+2) = (1/64) * 7 * 5; pero como no podemos superar el límite de 4, la probabilidad se queda en (1/64)*7*4=0,4375, un 43,75% de probabilidades de obtener un 4 en 1d4 con ventaja y vencer a los posibles resultados de 1d4 normal.
• Si se obtiene 3 en la tirada con ventaja, (1/64) * (2*3-1) * (3-1+2) = (1/64) * 5 * 4 = 0,3125.
• Si se obtiene 2 en la tirada con ventaja, (1/64) * (2*2-1) * (2-1+2) = (1/64) * 3 * 3 = 0,140625.
• Si se obtiene 1 en la tirada con ventaja, (1/64) * (2*1-1) * (1-1+2) = (1/64) * 1 * 2 = 0,03125
• Total de probabilidad de éxito: 0,921875, un 92,1875% de probabilidades de que 1d4+3 con ventaja venza a 1d4+1 normal.

Probabilidad de éxito según anydice

Nota: he querido simplificar a propósito la fórmula final. Si nos fijamos en los límites del dado, la fórmula real sería diferente dependiendo de si la diferencia es positiva o negativa, quedando algo tal que así:Lo dicho, se complica un poco porque necesitamos dos fórmulas diferentes y una de ella con dos sumatorios. Por eso me ha parecido más sencilla la otra fórmula, aunque tengamos que poner topes.

Probabilidad de empate

El proceso de cálculo es análogo que para calcular la probabilidad de éxito, pero teniendo en cuenta que tenemos que multiplicar la probabilidad de obtener un resultado específico en la tirada con ventaja por la probabilidad de tener el mismo resultado en la tirada normal: la probabilidad de obtener un resultado con ventaja multiplicado por la probabilidad de obtener ese mismo resultado en un dado normal, que es siempre 1/c:

% empate de un resultado específico  = (1/c * i/c + (i-1)/c * 1/c) * (1/c) = (2i-1)/c^2) * (1/c) = (2i-1)/c^3

Y, si aplicamos la diferencia de bonificadores, si la diferencia es positiva (ventaja tira con más bono) y es un +1, obtener 4 con ventaja nunca empatará, siempre vencerá; si la diferencia es negativa, obtener 1 en la tirada con ventaja nunca empatará, siempre perderá. Es decir, la diferencia va a reducir el número de empates posibles: ojo, en este caso no modifica la fórmula de probabilidad de éxito, sino el rango que dará un posible empate. Un poco lioso, ¿no? Pues el resultado final para todos los posibles resultados sería:

% empate= (1/ c^3) * Σ^c-d_i=1-d (2i-1)

Donde 1-d siempre será, como mínimo, 1 (cuando d sea positivo); y c-d siempre será, como máximo, c (cuando d sea negativo). Además, si el rango inferior es superior al rango superior, ¡la probabilidad de empate será 0! No hay que calcular nada.

De nuevo, he querido simplificar una fórmula con topes, ya que realmente tendríamos que coger una fórmula u otra dependiendo de si la diferencia es positiva o negativa:

% empate si d>=0 = (1/ c^3) * Σ^c-d_i=1 (2i-1)

% empate si d<0 = (1/ c^3) * Σ^c_i=1-d (2i-1)

Probabilidad de fallo

Más de lo mismo, el proceso de cálculo para el fallo es análogo al proceso de cálculo para el éxito, pero dando la vuelta a la probabilidad de que, ante cada resultado específica de la tirada con ventaja, la tirada normal sea superior:

% de un resultado fijo con ventaja = (2i-1)/c^2 (esto no cambia respecto a la probabilidad de éxito)

% fallo de enfrentamiento = (2i-1)/c^2 x (c-i)/c

Pero nos faltaría añadir la diferencia de bonificadores. Esa diferencia nos dice que, si tenemos un -1 y la tirada con ventaja obtiene 1, nunca puede ganar, siempre será un 100% de fallo.

% fallo de enfrentamiento = (2i-1)/c^2 x (c-i-d)/c

Y eso es para un único resultado. Para todos los resultados, sería:

% fallo = (1/ c^3) * Σ^c_i=1 (2i-1) * (c-i-d)

Donde (c-i-d) nunca será inferior a 0 ni superior a c (si es negativo, se reemplazará por 0; si es superior a c, se reemplazará por c).

De nuevo, esto no deja de ser una simplificación de las dos fórmulas diferentes que habría que usar, dependiendo de si la diferencia es negativa o positiva:

% fallo si d>=0: (1/ c^3) * Σ^c-d_i=1 (2i-1) * (c-i-d)

% fallo si d<0: (1/ c^3) *  ( Σ^c_i=1-d (2i-1) * (c-i-d) ) + (1/c^2) * (Σ^-d_j=1 (2j-1))